等式变形
立方合、立方差公式及其变形
$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab)$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)$$典例 分解因式$27a - a^4$.
$$\begin{aligned} 27a - a^4 &= a(27 - a^3) \\ &= a(3^3 - a^3) \\ &= a(3-a)(3^2 + a^2 + 3a) \\ &= a(3-a)(a^2 + 3a + 9) \\ \end{aligned} $$
例1 化简$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$和$\sqrt{4-\sqrt{15}}$.
$$\begin{aligned} \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} &= \sqrt{2 - 2\sqrt{6} + 3} \\ &= \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2} \\ &= \lvert \sqrt{2} - \sqrt{3} \rvert \\ &= \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{aligned} $$
$$\begin{aligned} \sqrt{4 - \sqrt{15}} &= \sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot (8 - 2\sqrt{15})} \\ &= \sqrt{\dfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{3 - 2\sqrt{15} + 5} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \lvert \sqrt{3} - \sqrt{5} \rvert \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \\ &= \dfrac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2} \end{aligned} $$
十字相乘法因式分解
$$Ax^2 + Bx + C = (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd $$
典例:
$$x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4) $$
$$2x^2 + 3x -2 = (x + 2)(2x - 1) $$
$$6x^2 - x - 1 = (3x + 1)(2x - 1) $$
例2 分解因式$x^2 + (a - 2)x - 2a$.
$$原式 = (x - 2)(x + a) $$
例3 分解因式$x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x - 7y + 6$.
使用主元法: 选$x$为主要变量.
提公因式得
$$\begin{aligned} 原式 &= x^2 + (2y - 5)x + (-3y - 7y + 6) \\ &= x^2 + (2y - 5)x + (y + 3)(-3y + 2) \end{aligned} $$
此时
$$(y + 3) + (-3y + 2) = -2y + 5 = -(2y - 5) $$
则变形为
$$\begin{aligned} 原式 &= x^2 + (2y - 5)x + (-y - 3)(3y - 2) \\ &= (x - y - 3)(x + 3y - 2) \end{aligned} $$
例4 若$x^2 + xy - 2y^2 = 0$, 则$\dfrac{x^2 + 3xy + y^2}{x^2 + y^2} = \underline{\qquad\qquad}$.
因式分解得
$$x^2 + xy - 2y^2 = (x + 2y)(x - y) = 0 \\ $$
解方程得
$$x_1 = -2y \qquad x_2 = y $$
分别代入并化简得
$$\begin{aligned} 1. 当 x &= -2y 时 \qquad \dfrac{x^2 + 3xy + y^2}{x^2 + y^2} = \dfrac{-y^2}{5y^2} = -\dfrac{1}{5} \\ 2. 当 x &= y 时 \qquad \dfrac{x^2 + 3xy + y^2}{x^2 + y^2} = \dfrac{5y^2}{2y^2} = \dfrac{5}{2} \\ \end{aligned} $$
故答案为$-\dfrac{1}{5}$或$\dfrac{5}{2}$.
增添项
典例 分解因式$x^3 + 4x^2 + 5x + 2$.
第一步: 猜根.
通常地，根$x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{1}{3}\cdots$
猜根得，该题中$x = -1$必为一根.
则原式$\,= (x + 1)(\cdots)$
第二步: 增添项.
观察得$x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$.
则原式$\,= (x + 1) \cdot x^2 + 3x^2 + 5x + 2$.
观察得$3x^2 + 3x = 3x(x + 1)$.
则原式$\,= (x + 1)(x^2 + 3x) + 2x + 2$.
观察得$2x + 2 = 2(x + 1)$.
则原式$\,= (x + 1)(x^2 + 3x + 2)$.
所以
$$\begin{aligned} 原式 &= (x + 1)(x^2 + 3x + 2) \\ &= (x + 1)(x + 1)(x + 2) \\ &= (x + 1)^2(x + 2) \end{aligned} $$
例5 分解因式$3x^3 - 8x^2 + 3x + 2$.
猜根得，$x = 1$必为一根.
则
$$\begin{aligned} 原式 &= 3x^2(x - 1) - 5x^2 + 3x + 2 \\ &= (3x^2 - 5x)(x - 1) - 2x + 2 \\ &= (3x^2 - 5x - 2)(x - 1) \\ &= (3x + 1)(x - 2)(x - 1) \end{aligned} $$
解不等式
一元二次不等式
典例 解不等式$x^2 - 5x - 6 < 0$.
第一步: 求出图象与$x$轴交点.
解$x^2 - 5x - 6 = 0$，得$x_1 = -1 \quad x_2 = 6$.
第二步: 画出函数图象.
第三步: 观察函数值在条件下时自变量的取值范围.
因为$x^2 - 5x - 6 < 0$，
所以当$y = x^2 - 5x - 6 < 0$时，观察图象得，此时$-1 < x < 6$.
例6 解不等式$2x^2 + x - 6 \geq 0$.
解$2x^2 + x - 6 = 0$得$x_1 = \dfrac{3}{2} \quad x_2 = -2$.
画出$y = 2x^2 + x - 6$的图象.
观察图象得，解集为$x \leq -2 \, 或 \, x \geq \dfrac{3}{2}$.
分式不等式
$$\boldsymbol{\dfrac{a}{b} > 0 \iff ab > 0} $$
$$\boldsymbol{\dfrac{a}{b} < 0 \iff ab < 0} $$
典例1 解不等式$\dfrac{x - 2}{x + 1} > 0$.
原式 $\iff (x - 2)(x - 1) > 0$.
解得$x > 1 \, 或 \, x > 2$.
$\\$
典例2 解不等式$\dfrac{4x + 3}{1 - x} \geq 0$.
原式 $\iff (4x + 3)(1 - x) \geq 0$ 且 $\boldsymbol{1 - x \neq 0}$.
解得$-\dfrac{3}{4} \leq x \leq 1$ 且 $\boldsymbol{x \neq 1}$.$\\[5px]$所以$-\dfrac{3}{4} \leq x < 1$.
$\\$
典例3 解不等式$\dfrac{2x - 5}{x + 1} \leq 1$.
移项得，$\dfrac{2x - 5}{x + 1} - 1 \leq 0$.
通分得，$\dfrac{2x - 5 - x - 1}{x + 1} \leq 0$.
化简得，$\dfrac{x + 4}{x + 1} \leq 0$.
则原式 $\iff (x + 4)(x + 1) \leq 0$ 且 $x + 1 \neq 0$.
解得$-4 \leq x < -1$.
高次函数
典例1 画出$y = (x - 1)(x + 2)(3x - 1)$的大致图象.
第一步: 令$\boldsymbol{y = 0}$，解方程.
解$(x - 1)(x + 2)(3x - 1) = 0$得$x_1 = 1 \quad x_2 = -2 \quad x_3 = \dfrac{1}{3}$.
第二步: 画出可能的函数图象.
第三步: 代入较大的$\boldsymbol{x}$数值，判断正负.
把$x = 100$代入得，$x - 1 > 0 \quad x + 2 > 0 \quad 3x - 1 > 0$.
则图象在$x = 100$时会有$y > 0$.
第四步: 选择正确的函数图象.
图象在$x = 100$时会有$y > 0$，选择正确的图象.
变式 解不等式$(2x - 1)(x + 2)(1 - x) > 0$.
解$(2x - 1)(x + 2)(1 - x) > 0$得，$x_1 = \dfrac{1}{2} \quad x_2 = -2 \quad x_3 = 1$.
画出$y = (2x - 1)(x + 2)(1 - x)$的大致图象.
如图，解集为$x < -2 \, 或 \, \dfrac{1}{2} < x < 1$.
$\\$
典例2 画出$y = (x - 1)^2(x + 2)(3x - 1)$的大致图象.
解$(x - 1)(x + 2)(3x - 1) = 0$得$x_1 = 1 \quad x_2 = -2 \quad x_3 = \dfrac{1}{3}$.
是否穿过$x$轴，取决于其因式的幂，奇穿偶不穿.
$x - 1$的幂为$2$，其它为$1$，则$x = 1$时不穿过$x$轴，$x = 2$和$x = \dfrac{1}{3}$时穿过$x$轴.
画出大致图象.
例7 画出$y = (1 - x)^2(x + 1)^3(2 - 3x)^6$的大致图像.
解$(1 - x)^2(x + 1)^3(2 - 3x)^6 = 0$得，$x_1 = 1 \quad x_2 = -1 \quad x_3 = \dfrac{2}{3}$.
$1 - x$和$2 - 3x$的幂为偶数，$x + 1$的幂为奇数，则$x = 1$和$x = \dfrac{2}{3}$时不穿过$x$轴，$x = -1$时穿过$x$轴.
画出函数图象.
例8 解不等式$x^3 - 2x^2 - x + 2 < 0$.
分解因式$x^3 - 2x^2 - x + 2$得原式 $= (x - 1)(x - 2)(x + 1)$.
画出$y = (x - 1)(x - 2)(x + 1)$的大致图像.
观察图象得，当$1 < x < 2 \, 或 \, x < -1$时，$y > 0$.
即该不等式解集为$1 < x < 2 \, 或 \, x < -1$.
绝对值不等式
$$\boldsymbol{\lvert a \rvert > \lvert b \rvert \iff a^2 > b^2} $$
典例1 解不等式$\lvert x - 1 \rvert > 2$.
据题意，$x - 1$到原点的距离大于$2$到原点的距离，画出数轴，找到$x - 1$的取值范围.
观察数轴得，$x - 1 < -2 \, 或 \, x - 1 > 2$.
解得$x < -1 \, 或 \, x > 3$.
$\\$
典例2 解不等式$\lvert x - 1 \rvert > \lvert 2x - 3 \rvert$.
据题意，原不等式$\iff (x - 1)^2 > (2x - 3)^2$.
因式分解得$(3x + 2)(-x - 4) > 0$.
解得$-4 < x < -\dfrac{2}{3}$.
即原绝对值不等式解集为$-4 < x < -\dfrac{2}{3}$.
$\\$
典例3 解不等式$\lvert x + 3 \rvert > 1 - 2x$.
分$\boldsymbol{2}$种情况讨论.
$1$.当$x + 3 < 0$时，即$x < -3$，此时$-(x + 3) > 1 - 2x$.
解得$x > 4$.
此时不等式无解.
$2$.当$x + 3 > 0$时，即$x > -3$，此时$x + 3 > 1 - 2x$.
解得$x > -\dfrac{2}{3}$.
此时不等式解集为$x > -\dfrac{2}{3}$.
综上所述，该不等式解集为$x > -\dfrac{2}{3}$.
根式不等式
$$\boldsymbol{ \sqrt{a} > b \iff \left\{ \begin{array}{lr} a^2 > b^2 \\ a \geq 0 \\ b \geq 0 \end{array} \right. } $$
$\\$
典例 解不等式$\sqrt{3 - x} < x - 1$.
据题意
$$\sqrt{3 - x} < x - 1 \iff \left\{ \begin{array}{lr} (3 - x)^2 < (x - 1)^2 \\ 3 - x \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{array} \right. $$
解不等式组得，解集为$2 < x \leq 3$.
根的分布
典例 已知方程$x^2 - mx - m + 3 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$.
$\Delta = m^2 + 4m - 12 = (m + 6)(m - 2) > 0$.
所以$m > 2 \, 或 \, m < -6$.
根和零比（韦达定理）
$(1)$ 满足其中一个根大于$0$，另一个根小于$0$，求$m$的取值范围.
据题意，$x_1x_2 < 0$.
所以$\dfrac{-m + 3}{1} < 0$.
解得$m > 3$.
又因为$m > 2 \, 或 \, m < -6$，
所以$m > 3$.
特定范围（画图法）
从$4$个方面考虑.
$1$. 开口方向.
$2$. 对称轴.
$3$. 与$x$轴交点的个数（$\Delta$）.
$4$. 特殊点.
$\\$
$(2)$ 满足$-1 < x_1 < x_2 < 2$，求$m$的取值范围.
画出图象.
$1)$ 对称轴: $-1 < \dfrac{m}{2} < 2 \implies -2 < m < 4$.
$2)$ $\Delta > 0 \implies (-m)^2 - 4(-m + 3) > 0 \implies m < -6 \, 或 \, m > 2$.
$3)$ 特殊点:
$y(-1) = (-1)^2 + m - m + 3 > 0 \implies 4 > 0 \\ y(2) = 4 - 2m - m + 3 > 0 \implies m < \dfrac{7}{3}$.
综上所述，$2 < m < \dfrac{7}{3}$.
变式 已知方程$mx^2 + 2(m + 3)x + 2m + 14 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$，且一个根大于$4$，一个根小于$4$，求$m$的取值范围.
当两根之间有条件数值时，不考虑对称轴和$\boldsymbol{\Delta}$.
分$2$种情况讨论.
$1$. 当$m > 0$时，
画出图象.
$\enclose{horizontalstrike}{1) \, \Delta = -(m - 5)(m - 1) > 0 \implies 1 < m < 5}$.（非必要）
$2)$ $y(4) = 26m + 38 < 0 \implies m < -\dfrac{19}{13}$.
此时没有$m$符合条件.
$2$. 当$m < 0$时，
画出图象.
$y(4) = 26m + 38 > 0 \implies m > -\dfrac{19}{13}$.
所以$m > 0$.
综上所述，$-\dfrac{19}{13} < m < 0$.
例9 已知方程$x^2 + (m - 2)x + 5 - m = 0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$，且两根都大于$2$，求$m$的取值范围.
画出图象.
$1)$ 对称轴: $1 - \dfrac{m}{2} > 2 \implies m < -2$.
$2)$ $\Delta = (m - 10)(m + 2) > 0 \implies m < -4 \, 或 \, m > 4$.
$3)$ 特殊点:
$y(2) = m + 5 > 0 \implies m > -5$.
综上所述，$-5 < m < -4$.
例10 方程$x^2 + 2(m - 1)x + 2m + 6 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$，且满足$0 < x_1 < 1 < x_2 < 4$，求$m$的取值范围.
画出图象.
$y(0) = 2m + 6 > 0 \implies m > -3$.
$y(1) = 4m + 5 < 0 \implies m < -\dfrac{5}{4}$.
$y(4) = 10m + 14 > 0 \implies m > -\dfrac{7}{5}$.
综上所述，$-\dfrac{7}{5} < m < -\dfrac{5}{4}$.