数学笔记-集合

 集合初步

 概念

一切都可成为研究对象.
集合: 研究对象所汇总成的集体.
元素: 构成集合的每个研究对象.
元素（不）属于集合，用$\in$表示属于，用$\notin$表示不属于.

 集合的三大特性

1. 确定性: 集合的元素必须是确定的.
2. 无序性: 集合中的元素可以任意排列.
3. 互异性: 对于给定的一个集合，集合中的元素必须是不同的.

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例1 已知$\{a,{\displaystyle \frac{b}{a}},1\}=\{a^2,a+b,0\}$，则$a^{2022}+b^{2023}=\underset{―}{}$.

观察得，$a$或${\displaystyle \frac{b}{a}}$为$0$，但$a^2\ne 0$，所以$b=0$.
则有$\{a,0,1\}=\{a^2,a,0\}$.
所以$a^2=1$，则$a=\pm 1$.
又因为$a\ne 1$，所以$a=-1$.
则$a^{2022}+b^{2023}=(-1{)}^{2022}+0^{2023}=1$.

注意: 如果$S=\{a,2,3\}$，则$a\notin \{2,3\}$；集合内部有参数，小心“互异性”！

 集合的表示方法

常见数集:
$\mathbb{N}$: 自然数集.
${\mathbb{N}}_{\mathbb{+}}$: 正整数集.
$\mathbb{Z}$: 整数集.
$\mathbb{Q}$: 有理数集.
$\mathbb{R}$: 实数集.

示例1: 表示出“大于$1$小于$5$的整数”构成的集合.
1.列举法: $\{2,3,4\}$.
2.描述法: $\{x\in \mathbb{Z}|1<x<5\}$.
示例2: 表示出下列集合.
1.绝对值小于$3$的整数构成的集合.
列举法: $\{0,\pm 1,\pm 2\}$.
描述法: $\{x\in \mathbb{Z}||x|<3\}$.
2.所有偶数构成的集合.
列举法: $\{0,\pm 2,\pm 4,\pm 6,\cdots \}$.
描述法: $\{x|x=2k,k\in \mathbb{Z}\}$
3.第一象限的点所构成的集合.
$\{(x,y)|x>0,y>0\}$.

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例2 设$A=\{4,5,6\}$，$B=\{1,2,3\}$，求集合$C=\{x|x=m-n,m\in A,n\in B\}$中的所有元素之和.

$x$的最小值: $x_{min}=m_{min}-n_{max}=4-3=1$.
$x$的最大值: $x_{max}=m_{max}-n_{min}=6-1=5$.
据题意，$m\in \mathbb{Z}$，$n\in \mathbb{Z}$.
所以$x\in \mathbb{Z}$.
所以$C=\{1,2,3,4,5\}$.
所有元素之和$1+2+3+4+5=15$.

 集合间关系

 空集

空集是一个没有元素的集合，用$\varnothing$表示.

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例1 已知集合$M=\{x|2m<x<m+1\}$，且$M=\varnothing$，则实数$m$的取值范围是$\underset{―}{}$.

因为$M=\varnothing$.
所以$2m\ge m+1$.
解得$m\ge 1$.
则实数$m$的取值范围是$\{m|m\ge 1\}$. （注意写成集合形式）

注意: 如果$S=\{x|2a+3<x<a-2\}$，注意$2a+3\ge a-2$的情况；集合里有参数，注意空集！

 子集

如果集合$A$中任意一个元素都属于集合$B$，则称集合$A$是集合$B$的子集，记作$A\subseteq B$.
情况一: 真子集
记作$A⫋B$.
即$A\subseteq B$且$A\ne B$.
情况二: 两集合相等
记作$A=B$，即$A\subseteq$ B且$B\subseteq A$.
情况三: 空集
当$A=\varnothing$时，$A\subseteq B$.
规定: 空集是任意非空集合的子集.

对于有$n$个元素的非空集合$A$，其中$n>1$:
子集个数: $2^n$.
真子集个数: $2^n-1$.
非空子集个数: $2^n-1$.
非空真子集个数: $2^n-2$.

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例2 已知集合$A=\{x|-2<x\le 5\}$，$B=\{x|m+1\le x\le 2m-1\}$，若$B\subseteq A$，则实数$m$的取值范围是$\underset{―}{}$.
$1)$ 当$B\ne \varnothing$时，
画图

得$-2<m+1\le 2m-1\le 5$.
解得$\{\begin{array}{l}m>-3\\ m\ge 2\\ m\le 3\end{array}$
所以$2\le m\le 3$.
$2)$ 当$B=\varnothing$时，
此时$2m-1>m+1$，解得$m<2$.
综上所述，$m$的取值范围是$\{m|m\le 3\}$.

例3 集合$A=\{x|x<-1\mathrm{或}x\ge 3\}$，$B=\{x|ax+1\le 0\}$，若$B\subseteq A$，求实数$a$的取值范围.
据题意$ax\le -1$.
$1)$ 当$a=0$时，
得$0\le -1⟹B=\varnothing$
此时有$B\subseteq A$.
$2)$ 当$a>0$时，
得$x\le -{\displaystyle \frac{1}{a}}$.
画图

得$-{\displaystyle \frac{1}{a}}<-1$.
所以$a<1$
则当$0<a<1$时，有$B\subseteq A$.
$3)$ 当$a<0$时，
画图

得$-{\displaystyle \frac{1}{a}}\ge 3$.
解得$a\ge -{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
则当$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\le a<0$时，有$B\subseteq A$.
综上所述，实数$a$的取值范围是$\{a|-{\displaystyle \frac{1}{3}}\le a<1\}$.

例4 集合$A=\{x|-1<x<3,x\in \mathbb{N}\}$的子集的个数是$\underset{―}{}$个；集合$B=\{1,2,3,4,5,6\}$的子集的个数是$\underset{―}{}$个.
如果集合有$n$个元素，那么它的子集个数有$2^n$个.
故集合$A$有$2^3=8$个子集，集合$B$有$2^6$个子集.

 集合的运算

1. 交集
   记作$A\cap B$.
   即$A$且$B$.
2. 并集
   记作$A\cup B$.
   即$A$或$B$.
3. 补集
   在全集$U$中，除集合$A$以外的部分叫做集合$A$的补集，记作${\complement }_{U}A$.
   一般地，全集$U$为Venn图中的矩形.

典例1 已知集合$U=\{-2,-1,0,1,2\}$，$A=\{0,1\}$，$B=\{-1,0,1\}$，则
$1)$ $A\cap B=\{0,1\}$.
$2)$ $A\cup B=\{-1,0,1\}$.
$3)$ ${\complement }_{U}A=\{-2,-1,2\}$.
$4)$ ${\complement }_{B}A=\{-1\}$.

典例2 设全集$U=\mathbb{R}$，集合$A=\{x|x\ge 1\}$，$B=\{x|x<2\}$，则
$1)$ $A\cup B=\mathbb{R}$.
$2)$ $A\cap B=\{x|1\le x<2\}$.
$3)$ ${\complement }_{U}A=\{x|x<1\}$.
$4)$ ${\complement }_U(A\cap B)=\{x|x<1\mathrm{或}x\ge 2\}$.

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例1 已知集合$A=\{x|3\le x\le 6\}$，${\complement }_{\mathbb{R}}B=\{x|2\le x\le 5\}$，求$A\cup B$，$({\complement }_{\mathbb{R}}A)\cap B$.
因为${\complement }_{\mathbb{R}}B=\{x|2\le x\le 5\}$，
所以$B=\{x|x<2\mathrm{或}x>5\}$.
则$A\cup B=\{x|x<2\mathrm{或}x\ge 3\}$.
因为$A=\{x|3\le x\le 6\}$，
所以${\complement }_{\mathbb{R}}A=\{x|x<3\mathrm{或}x>6\}$.
则$({\complement }_{\mathbb{R}}A)\cap B=\{x|x<2\mathrm{或}x>6\}$.

例2 学校先举办了一次田径运动会，某班有$8$名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有$12$名同学参赛，两次运动会都参赛的有$3$人.两次运动会中，该班参赛的同学总共有$\underset{―}{}$人.
画出Venn图

得该班参赛的同学共有$5+3+9=17$人.

例3 已知全集为$U$，集合$A$，$B$如图所示，则图中的阴影部分表示的集合为$()$.

$\mathrm{A}.({\complement }_{U}A)\cap B\mathrm{B}.{\complement }_U(A\cap B)\mathrm{C}.{\complement }_B(A\cap B)\mathrm{D}.A\cap ({\complement }_{U}B)$
分别画出Venn图.
$\mathrm{A}.$
$\mathrm{B}.$
$\mathrm{C}.$
$\mathrm{D}.$
故选择$\mathrm{AC}$.

例4 若集合$A$，$B$，$U$满足$A\cap ({\complement }_{U}B)=\varnothing$，则$()$.
$\mathrm{A}.A\cap B=A\mathrm{B}.A\cup B=U\mathrm{C}.A\cup ({\complement }_{U}B)=U\mathrm{D}.B\cup ({\complement }_{U}A)=U$
画出$A\cap ({\complement }_{U}B)=\varnothing$，阴影部分为${\complement }_{U}B$.

同上题过程，选择$\mathrm{AD}$.

 综合大题例题

 1)

画出$({\complement }_{U}A)\cap B=\varnothing$.

得$B\subseteq A$.
据题意 $A:(x+3)(1-x)\ge 0⟹x\in [-3,1]$.

1. 当$B\ne \varnothing$时:
   $-3\le a-1\le 2a+1\le 1⟹a\in [-2,0]$.
2. 当$B=\varnothing$时:
   $2a+1<a-1⟹a\in (-\mathrm{\infty },-2)$.

综上，$a\in (-\mathrm{\infty },0]$.

 2)

画出$A\cup C=A$，得$C\subseteq A$.
据题意$C:x\in [m+1,-m-1]$或$x\in [-m-1,m+1]$.
$\{\begin{array}{l}-3\le m+1\le 1\\ -3\le -m-1\le 1\end{array}$
解不等式得
$\{\begin{array}{l}-4\le m\le 0\\ -2\le m\le 2\end{array}$
综上，$m\in [-2,0]$.

 逻辑用语

 充分条件与必要条件

充分性推导: 由条件推出结论.
必要性推导: 由结论推出条件.

即在条件$P$，结论$Q$中:
充分不必要条件: $P⟹Q$，$P⫋Q$.
必要不充分条件: $Q⟹P$，$P⫋Q$.
充分必要（充要）条件: $P⟺Q$，$P=Q$.

小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围.

 全称量词与存在量词

全称量词: $\mathrm{\forall }$.
存在量词: $\mathrm{\exists }$.

对于命题$p$: $\mathrm{\forall }x\in M$，$p(x)$，否定命题为$\mathrm{\neg }p$: $\mathrm{\exists }x\in M$，$\mathrm{\neg }p(x)$.
对于命题$p$: $\mathrm{\exists }x\in M$，$p(x)$，否定命题为$\mathrm{\neg }p$: $\mathrm{\forall }x\in M$，$\mathrm{\neg }p(x)$.
对于命题$p$: $\mathrm{\forall }x\in A$，$\mathrm{\exists }y\in B$，$p(x)$，否定命题为$\mathrm{\neg }p$: $\mathrm{\exists }x\in A$，$\mathrm{\forall }y\in B$，$\mathrm{\neg }p(x)$.
对于命题$p$: $\mathrm{\forall }x\in M$，$p_1(x)$或$p_2(x)$，否定命题为$\mathrm{\neg }p$: $\mathrm{\exists }x\in M$，$\mathrm{\neg }{p}_1(x)$且$\mathrm{\neg }{p}_2(x)$.

示例:

据题意，真命题为$\mathrm{\forall }{x}_0\in \mathbb{R}$，$m{x}_0^2+2m{x}_0-2<0$.
分情况讨论.

1. 当$m>0$时:
   此时抛物线开口向上，一定有$m{x}_0^2+2m{x}_0-2>0$，命题不成立.
2. 当$m=0$时:
   $-2<0$，命题成立.
3. 当$m<0$时:
   此时当抛物线与$y$轴无交点时，有$m{x}_0^2+2m{x}_0-2<0$.
   则$\mathrm{\Delta }=4m^2+8m<0$，解得$m\in (-2,0)$.

综上，$m$的取值范围是$(-2,0]$.