概念
向量: 既有大小，又有方向的量.
相反向量: 大小相等，方向相反的向量.
表示法
- 一般向量
- $\overrightarrow{AB}$
- $\vec{a}$
- $\boldsymbol{a}$
- 模长（大小）:
- $| \overrightarrow{AB} |$
- 零向量（任意方向）:
- $\vec{0}$
- $\boldsymbol{0}$
向量的方向
- 垂直向量:
$\vec{a} \perp \vec{b}$ - 平行向量（即共线向量）:
$\vec{a} \parallel \vec{b} \parallel \vec{c}$
其中$\vec{a}$与$\vec{b}$共线，与$\vec{c}$反向.（共线 $\iff$ 平行） - 既不平行，也不垂直.
- 规定: 零向量平行于任意一向量.
辨析
- 两个向量相等 $\iff$ 大小、方向均相同
- 向量可以随意平移.（性质）
- 平面向量 $\neq$ 有向线段.（有向线段不可平移）
- $\vec{a} = \vec{b}$与$|\vec{a}| = |\vec{b}|$不同.
- 如果$\vec{a} \parallel \vec{b}$，$\vec{b} \parallel \vec{c}$，则不一定有$\vec{a} \parallel \vec{c}$，因为$\vec{b}$有可能为$\vec{0}$.
向量加法
平行四边形法则
三角形法则
示例:
向量减法
对于$\overrightarrow{AB}$的相反向量$-\overrightarrow{AB}$，有$-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$.
则$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA}$
示例:
如图，求$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{ED}$.
解 $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{HA} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OH}$.（或$\overrightarrow{DO}$）
向量数乘
在$\lambda\vec{a}$中，$|\lambda\vec{a}| = \lambda|\vec{a}|$
当$\lambda > 0$时，方向不变，当$\lambda = 0时，\lambda\vec{a} = \vec{0}$，当$\lambda < 0 时$，方向变为反向
示例1:
在平行四边形$ABCD$中，两条对角线交于点$O$，求$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}$.
画出图形.
解 原式 $= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{DO} + 2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DC}$.（或$\overrightarrow{AB}$）
示例2:
解 A. $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC} \neq \overrightarrow{AB}$.
B. $2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) = 2\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BA} \neq \overrightarrow{AB}$.
C. $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD} \neq \overrightarrow{AB}$.
D. $2(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$.
故选D.
示例3:
解 A. $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{SE} + \overrightarrow{RQ} = \overrightarrow{QC} + \overrightarrow{CR} + \overrightarrow{RQ} = \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RQ} = \vec{0}$.
B. 在正五边形$PQRST$中，有$PS \parallel QR$和$QT \parallel RS$，所以有平行四边形$APRT$，所以$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AR}$.
左边 $= \overrightarrow{QC} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AT} = \overrightarrow{AR}$.
右边 $= \overrightarrow{QD} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{BR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{BS}$.
因为$\overrightarrow{AR} \neq \overrightarrow{BS}$，所以左边$\neq$右边.
C. $AT = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}PT = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}TS$.
因为$\overrightarrow{AT} \parallel \overrightarrow{TS}$，所以$\overrightarrow{AT} = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}\overrightarrow{TS}$.
D. 过点$A$作$AG \perp PT$于$G$点，则有$\mathrm{Rt}\triangle AGT$.
则$\angle GAT = 18 ^ \circ$，所以$\sin 18 ^ \circ = \dfrac{GT}{AT} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{PT}{AT} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$.
由二倍角公式得$\cos 36 ^ \circ = 1 - 2\sin ^ 2 18 ^ \circ = 1 - 2(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}) ^ 2 = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$.
故选ACD.