高中数学

直线

倾斜角与斜率

直线的倾斜角: $x$ 轴正向与直线$l$向上的方向之间所成的角，其中倾斜角 $\alpha \in [0, \pi)$.
直线$y = kx + b$，过点 $A(x_1, y_1)$，点$B(x_2, y_2)$，其斜率 $k = \tan \alpha = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率.（$\alpha = 90^\circ$时，$\tan \alpha$无意义，直线没有斜率）

表示方法

  1. 一般地，
一般式: $Ax + By + C = 0$
  1. 当直线斜率 $k$ 已知，点 $(x_1, y_1)$ 在直线上，则
点斜式: $y - y_1 = k(x - x_1)$
  1. 当点 $(x_1, y_1)$，$(x_2, y_2)$ 在直线上，则
两点式: $y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$
  1. 当直线斜率 $k$ 与截距 $b$ 已知，则
斜截式: $y = kx + b$

距离公式

点到直线距离公式:

对于点 $P(x_0, y_0)$，其到直线 $Ax + By + C = 0$ （垂足为 $Q$）的距离

$PQ = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

平行线间距离公式:

对于直线 $Ax + By + C_1 = 0$ 与 $Ax + By + C_2 = 0$，其距离

$d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

圆

表示方法

标准方程

以点 $A(a, b)$ 为圆心，$r$ 为半径的圆 $A$，其标准方程为

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

一般方程

一般地，

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

是圆的一般方程，配方可得其标准方程形式为

$$(x + \dfrac{D}{2})^2 + (y + \dfrac{E}{2})^2 = \dfrac{1}{4}(D^2 + E^2 - 4F)$$