概念

任意角

角: 由始边到终边旋转的度数，角度 $\theta \in \mathbb{R}$.
由始边逆时针转的角: 正角.
由始边顺时针转的角: 负角.
逆时针转角变大，顺时针转角变小.

示例1: 时钟经过 $4 \,\mathrm{h}$，转过了 $-120^\circ$.
示例2: 如图，已知角 $\theta$ 终边在图中阴影所表示的范围内（不含边界），那么$\theta \in \{\theta \,|\, 120^\circ + k \cdot 360^\circ < \theta < 210^\circ + k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$.

示例3: 如图，已知角 $\alpha$ 终边在图中阴影所表示的范围内（不含边界），那么$\alpha \in \{\alpha \;| -60^\circ + k \cdot 180^\circ < \alpha < 45^\circ + k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$.

象限角

如角的终边在第 $X$ 象限，则该角为第 $X$ 象限角.

弧度制

在弧长为 $l$，半径为 $r$ 的扇形中，角度 $\theta = \dfrac{l}{r}$，单位为 $\mathrm{rad}$，通常省略不写.
则 $180^\circ = \pi$.
$x\pi \,\mathrm{rad} = x \cdot 180^\circ$.
$x^\circ = x \cdot \dfrac{\pi}{180}\,\mathrm{rad}$.
常见角度与弧度:

$0^\circ{}$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$

在弧长为 $l$，半径为 $r$ 的扇形中，角度为 $\theta$，因为 $\theta = \dfrac{l}{r}$，所以弧长 $l = \theta r$，面积 $S = \dfrac{\theta r^2}{2} = \dfrac{lr}{2}$.

三角函数

如图，在单位圆 $x^2 + y^2 = 1$ 中，点 $(x_0, y_0)$ 在圆上，记角为 $\theta$，则三角函数分别为

$$\sin \theta = y_0$$ $$\cos \theta = x_0$$ $$\tan \theta = \dfrac{y_0}{x_0}$$

三角函数的正负规律:

记忆口诀: ASTC.（从第一象限依次到第四象限，为正的分别是All，$\sin$，$\tan$，$\cos$）

同角三角函数关系

$$\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$$ $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

知一求二

示例:
已知 $\alpha$ 是第二象限角，若 $\sin \alpha = \dfrac{2}{3}$，求 $\cos \alpha$，$\tan \alpha$.

方法一: 解方程.
由 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ 得，$\cos^2 \alpha = \dfrac{5}{9}$，所以 $\cos \alpha = \pm \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
因为 $\alpha$ 是第二象限角，所以 $\cos \alpha < 0$，则 $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
所以 $\tan \alpha = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}} = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
方法二: 当 $\alpha$ 为锐角时，画辅助三角形.

由图可得 $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$，$\tan \alpha = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
因为 $\alpha$ 是第二象限角，所以 $\cos \alpha < 0$，则 $\cos \alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，$\tan \alpha = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.

凑齐次式

示例1: 已知 $\tan \theta = 2$，求 $\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta$.
$ \begin{aligned} & \quad\; \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta \\ &= \dfrac{\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} \\ &= \dfrac{\dfrac{\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}}{\dfrac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}} \\ &= \dfrac{\tan^2 \theta + \tan \theta - 2}{\tan^2 \theta + 1} \\ &= \dfrac{4 + 2 - 2}{4 + 1} \\ &= \dfrac{4}{5} \end{aligned} $

示例2: 已知 $\tan \theta = 2$，求 $1 + \sin \theta \cos \theta$ 的值.
$ \begin{aligned} & \quad\; 1 + \sin \theta \cos \theta \\ &= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta \\ &= \dfrac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} \\ &= \dfrac{\dfrac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta}}{\dfrac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}} \\ &= \dfrac{\tan^2 \theta + 1 + \tan \theta}{\tan^2 \theta + 1} \\ &= \dfrac{4 + 1 + 2}{4 + 1} \\ &= \dfrac{7}{5} \end{aligned} $

诱导公式

$$\sin (-\theta) = -\sin \theta$$ $$\cos (-\theta) = \cos \theta$$ $$\tan (-\theta) = -\tan \theta$$

$$\sin (\dfrac{k\pi}{2} \pm \theta) = \left\{ \begin{array}{lr} \pm \cos \theta,\; k \in \{k \,|\, k = 2n + 1, n \in \mathbb{Z}\} \\ \pm \sin \theta,\; k \in \{k \,|\, k = 2n, n \in \mathbb{Z}\} \end{array} \right. $$

$$\cos (\dfrac{k\pi}{2} \pm \theta) = \left\{ \begin{array}{lr} \pm \sin \theta,\; k \in \{k \,|\, k = 2n + 1, n \in \mathbb{Z}\} \\ \pm \cos \theta,\; k \in \{k \,|\, k = 2n, n \in \mathbb{Z}\} \end{array} \right. $$

$$\tan (\dfrac{k\pi}{2} \pm \theta) = \left\{ \begin{array}{lr} \pm \cot \theta,\; k \in \{k \,|\, k = 2n + 1, n \in \mathbb{Z}\} \\ \pm \tan \theta,\; k \in \{k \,|\, k = 2n, n \in \mathbb{Z}\} \end{array} \right. $$

假设 $\theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$，观察前后的正负，并根据情况添加符号.
即在自变量的 $\dfrac{k\pi}{2} \pm \theta$ 中，整数 $k$

奇变偶不变，符号看象限.

示例: 已知 $\cos^2 \theta - 2\sin \theta \sin (\theta + \dfrac{\pi}{2}) = 4\sin \theta + 2\sin (\dfrac{3\pi}{2} - \theta)$，求 $\dfrac{2 + \sin \theta \sin (\dfrac{\pi}{2} + \theta)}{1 - \tan (\theta - \pi)}$ 的值.
由诱导公式得 $\sin (\theta + \dfrac{\pi}{2}) = \cos \theta$，$\sin (\dfrac{3\pi}{2} - \theta) = -\cos \theta$，$\tan (\theta - \pi) = \tan \theta$.
则原等式变形为 $\cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta = 4\sin \theta - 2\cos \theta$.
提公因式得 $\cos \theta (\cos \theta - 2\sin \theta) = -2(\cos \theta - 2\sin \theta)$.
则 $(\cos \theta + 2)(\cos \theta - 2\sin \theta) = 0$.
因为 $\cos \theta \in [-1, 1]$，
所以 $\cos \theta \neq -2$.
所以 $\cos \theta - 2\sin \theta = 0$.
则 $\cos \theta = 2\sin \theta$.
所以 $\tan \theta = \dfrac{1}{2}$.
$ \begin{aligned} & \quad\, \dfrac{2 + \sin \theta \sin (\dfrac{\pi}{2} + \theta)}{1 - \tan (\theta - \pi)} \\ &= \dfrac{2 + \sin \theta \cos \theta}{1 - \tan \theta} \\ &= \dfrac{2 + \sin \theta \cos \theta}{1 - \dfrac{1}{2}} \\ &= 4 + 2\sin \theta \cos \theta \\ &= 4 + \dfrac{2\sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} \\ &= 4 + \dfrac{\dfrac{2\sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta}}{\dfrac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}} \\ &= 4 + \dfrac{2\tan \theta}{\tan^2 \theta + 1} \\ &= 4 + \dfrac{1}{\dfrac{1}{4} + 1} \\ &= \dfrac{24}{5} \end{aligned} $